Distribusi sampling Rata-rata

Distribusi sampling Rata-rata

Misalkan diketahui sebuah populasi yang berukuran N, dengan nilai masing-masing y1, y2, y3, . . . , yN, atau akan diperoleh nilai parameter:
Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian, maka banyaknya kemungkinan sampel adalah : m = , dengan anggota sampel adalah x1, x2, x3, . . . , xm,
sehingga nilai rata-rata setiap sampel adalah
dan nilai rata-rata dari rata-rata adalah : , dan
nilai simpangan baku dari rata-rata adalah :
dari nilai-nilai tersebut akan diperoleh bentuk hubungan:
( 1 ) , dan
( 2 ) jika perbandingan antara maka
( 3 ) tetapi jika perbandingan maka
Dari hubungan tersebut akan berlaku dalil Limit Pusat yang berbunyi:
Jika sebuah populasi memiliki nilai rata-rata dan simpangan baku yang besarnya terhingga, maka untuk sampel acak n yang berukuran cukup besar, maka distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan nilai simpangan baku
Contoh :
Dalam pekerjaan sehari-hari seorang manajer dibantu oleh lima orang stafnya yang masing-masing memiliki nilai prestasi kerja sebagai berikut:
A = 65, B = 80, C = 70, D = 60 dan E = 85. Jika pada waktu tertentu manajer tersebut akan membuat keputusan dan ia memerlukan masukkan dari 2 orang stafnya secara acak, maka tentukanlah,
a. Nilai rata-rata dan simpangan baku dari kelima staf manajer tersebut!,
b. Banyaknya kemungkinan susunan staf manajer yang akan memberi masukkan!, kemudian tuliskanlah siapa saja mereka!,
c. Tuliskanlah nilai prestasi kerja staf yang memneri masukkan, kemudian hitunglah nilai rata-rata Prestasi kerja untuk setiap kemungkinan susunan staf yang memberi masukkan tersebut!,
d. Hitunglah nilai Rata-rata dan nilai simpangan baku dari nilai rata-rata susunan staf yang memberi masukkan tersebut!,
e. Bandingkanlah nilai hasil perhitungan untuk soal (d) dengan soal (a) di atas!,
Jawab :
a. Dari nilai-nilai A = 65, B = 80, C = 70, D = 60 dan E = 85, maka akan diperoleh nilai-nilai n = 5,  y = 360,  y 2 = 26350, sehingga nilai rata-rata  = 72, dan simpangan baku ny = 9,2736.
b. Banyaknya kemungkinan staf manajer yang akan memberi masukkan dapat dihitung dengan m = = , dengan susunannya adalah
Nomor Anggota Sampel c). Nilai Sampel Rata-rata
1 A , B 65 , 80 72.5
2 A , C 65 , 70 67.5
3 A , D 65 , 60 62.5
4 A , E 65 , 85 75.0
5 B , C 80 , 70 75.0
6 B , D 80 , 60 70.0
7 B , E 80 , 85 82.5
8 C , D 70 , 60 65.0
9 C , E 70 , 85 77.5
10 D , E 60 , 85 72.5

c.
d. n = 10,  x = 720,  x2 = 52162,50, sehingga nilai = 72 dengan nilai simpangan baku nsx = 5,6789
e.  = = 72,

Distribusi Sampling Proporsi
Diketahui sebuah populasi yang berukuran N, di mana Y diantaranya berkategori A, maka proporsi A dalam populasi adalah
( 1 ) ,
( 2 ) dengan nilai simpangan bakunya adalah
Jika selanjutnya dari populasi tersebut diambil sampel yang berukuran n, maka banyaknya kemungkinan sampel tersebut adalah;
( 3 ) m = ,
( 4 ) di mana kategori A dalam sampel adalah xi ,
( 5 ) dengan proporsi kategori A dalam setiap kemungkinan sampel adalah
( 6 ) Sehingga rata-rata proposi A dari distribusi sampel adalah :
( 7 ) dengan nilai simpangan baku proporsi A dalam sampel adalah :

Dari hasil perhitungan tersebut akan diperoleh bentuk hubungan bahwa
( 8 ) , dengan
( 9 ) nilai simpangan baku proporsi jika adalah , ( 10 ) tetapi jika maka nilai simpangan baku proporsi adalah :
Contoh :
Menurut catatan bagian keuangan beban biaya produksi yang dihasilkan dapat dikelompokkan ke dalam lima kelompok biaya, yaitu kelompok biaya produksi A, B, C, D, dan E, di mana kelompok biaya produksi B dan D dapat dikategorikan kedalam kelompok biaya produksi yang mahal.
Jika selanjutnya dalam proses penjualan produk tersebut akan dijual ke dalam bentuk kemasan yang masing-masing terdiri dari tiga kelompok biaya secara acak, maka tentukanlah;
a. Nilai proporsi beban biaya produksi mahal yang dihasilkan beserta nilai simpangan bakunya!,
b. Banyaknya kemungkinan susunan kelompok beban biaya dalam sebuah kemasan!, kemudian tuliskanlah susunan kemungkinannya!,
c. Tuliskanlah banyaknya kelompok beban biaya mahal dalam setiap kemasan, kemudian hitunglah nilai proporsinya!,
d. Hitunglah nilai Rata-rata dan nilai simpangan baku proporsi beban biaya mahal dari setiap kemasan tersebut!,
e. Bandingkanlah nilai hasil perhitungan untuk soal (d) dengan soal (a) di atas!,
Jawab :
a. Kelompok beban biaya mahal adalah kelompok produksi B dan D, sehingga proporsi beban biaya mahal adalah  = 2/5 = 0,40, dengan simpangan baku proporsi beban biaya mahal adalah
b. Banyaknya kemungkinan staf manajer yang akan memberi masukkan dapat dihitung dengan m = = , dengan susunannya adalah
Nomor Anggota Sampel c). Kategori Mahal Proporsi mahal
1 A , B , C 1 1/3
2 A , B , D 2 2/3
3 A , B , E 1 1/3
4 A , C , D 1 1/3
5 A , C , E 0 0
6 A, D, E 1 1/3
7 B , C, D 2 2/3
8 B , C , E 1 1/3
9 B , D , E 2 2/3
10 C , D , E 1 1/3

c.
d. n = 10,  p = 4,  p2 = 2, sehingga nilai = 4/10 = 0,40 dengan nilai simpangan baku nsx = 0,20
e. x/n =  = 0,40,